Formalna semantyka modalna (Kripke)
W 1963 roku Saul Kripke publikuje Semantical Considerations on Modal Logic, wprowadzając formalne ramy semantyczne dla logik modalnych1. Model modalny to trójka ⟨W, R, V⟩:
- W — niepusty zbiór światów możliwych (możliwych sytuacji lub stanów rzeczy);
- R — relacja dostępności (accessibility relation) między światami: świat w’ jest dostępny z w, jeśli z perspektywy w, w’ jest możliwy;
- V — funkcja wartościowania przypisująca zdaniom wartości prawdziwościowe w każdym świecie.
Zdanie „Konieczne, że p” (□p) jest prawdziwe w świecie w wtedy i tylko wtedy, gdy p jest prawdziwe we wszystkich światach dostępnych z w. Zdanie „Możliwe, że p” (◇p) — gdy p jest prawdziwe w przynajmniej jednym świecie dostępnym z w2.
Różne własności relacji dostępności R dają różne systemy logiki modalnej:
- Jeśli R jest relacją refleksywną → system T (□p → p)
- Jeśli refleksywna i tranzytywna → S4
- Jeśli refleksywna, tranzytywna i symetryczna → S5 (□p → □□p; konieczne jest konieczne we wszystkich światach)
Kripke’owska semantyka jest formalnie elegancka, lecz pozostawia otwarte pytanie metafizyczne: czym są elementy zbioru W? To właśnie stanie się głównym polem sporu filozoficznego.